Pengertian Logika Matematika dengan Jenis Rumus dan Contoh - Quipper Blog (2024)

Saat Ibumu berkata “Jika kamu masuk PTN, maka kamu akan mendapatkan motor baru”, bagaimana perasaanmu? Pasti bahagia, kan? Tahukah kamu, pernyataan yang dilontarkan ibu seperti contoh di atas termasuk pernyataan majemuk, lho. Pernyataan majemuk merupakan salah satu jenis pernyataan pada logika matematika. Apa yang dimaksud logika matematika? Yuk, simak selengkapnya!

Pengertian Logika Matematika

Logika matematika adalah acuan berpikir tentang bagaimana mengambil suatu kesimpulan dari kondisi tertentu. Melalui logika semacam ini, kamu akan dilatih untuk selalu logis dan teliti dalam mengambil setiap kesimpulan. Misalnya saja, kamu harus bisa membedakan suatu kalimat termasuk pernyataan, bukan pernyataan, atau kalimat terbuka. Logika matematika hanya akan berlaku pada pernyataan. Lantas, bagaimana dengan kalimat terbuka? Tentu tidak berlaku, ya. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum memiliki nilai kebenaran pasti, contoh “2x + 3 = 7”, “Hari ini akan berpotensi hujan”, “Besok telur ayam akan menetas”, dan sebagainya.

Jenis Logika Matematika

Secara umum, logika matematika dibagi menjadi dua, yaitu pernyataan dan penarikan kesimpulan.

Pernyataan

Pernyataan adalah suatu kalimat yang bisa dibuktikan kebenarannya. Artinya, pernyataan hanya memuat satu nilai kebenaran, benar saja atau salah saja. Kedua nilai kebenaran itu tidak bisa melekat secara bersamaan pada suatu pernyataan. Adapun contoh pernyataan adalah sebagai berikut.

• Ibukota Indonesia adalah Jakarta. (benar)
• Lamanya Bumi berotasi adalah 24 jam (benar)
• Teori gravitasi dikemukakan oleh Albert Einstein. (salah)
• Hasil penjumlahan 3 + 5 = 7. (salah)

Secara umum, pernyataan dibagi menjadi dua, yaitu pernyataan tunggal dan majemuk. Apa perbedaan antara keduanya?

Pernyataan Tunggal

Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang bisa berdiri sendiri, sehingga tidak dibutuhkan tanda hubung. Secara matematis, pernyataan bisa dinyatakan sebagai p atau q. Contoh pernyataan tunggal “Ayah pergi ke kantor (p)”, “Ibu masak rendang (q)”, “Adik berangkat sekolah (r)”, dan sebagainya.

Ingkaran

Selain pernyataan, ternyata juga ada ingkaran pernyataan lho. Apakah itu? Ingkaran adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran berlawanan dengan pernyataan semula. Contoh ingkaran adalah ~p. Contohnya kalimat ingkaran adalah sebagai berikut.

• Pernyataan: Ayah pergi ke kantor (p)
• Ingkaran: Ayah tidak pergi ke kantor (~p)
• Pernyataan: Ibu masak rendang (q)
• Ingkaran: Ibu tidak masak rendang (~q)
• Pernyataan: tomat bukan sayur (r)
• Ingkaran: tomat adalah sayur (~r)

Berikut ini tabel kebenaran untuk ingkaran.

Dengan: B = benar dan S = salah

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal melalui tanda hubung. Contoh pernyataan majemuk adalah “Jika ayah ke kantor, ibu masak rendang”, “Adik bermain sepak bola dan kasti”, dan sebagainya. Pernyataan majemuk dibagi menjadi empat jenis, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Apa perbedaan antara keempatnya?

Konjungsi

Konjungsi adalah gabungan antara dua atau lebih pernyataan tunggal melalui tanda hubung “dan”. Secara matematis, konjungsi dilambangkan sebagai (p ∧ q). Perhatikan contoh konjungsi berikut.

• p = Feri makan nasi
• q = Feri makan bakso
• p ∧ q = Feri makan nasi dan bakso

Konjungsi hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan benar. Jika penasaran, berikut ini adalah tabel kebenaran konjungsi.

Lalu, bagaimana bentuk ingkaran konjungsi? Bentuk ingkaran konjungsi bisa dinyatakan sebagai berikut.

link image: https://drive.google.com/drive/folders/19f9oacENTxeOb1cF5nLhbWc-RkqWcEkz

Jika hasil konjungsi “Feri makan nasi dan bakso” dibuat ingkarannya, akan menjadi seperti berikut.

• p ∧ q = Feri makan nasi dan bakso. (konjungsi)
• ~(p ∧ q) ≡ ~p ~q = Feri tidak makan nasi atau bakso. (ingkaran konjungsi)

Disjungsi

Disjungsi adalah gabungan dari dua atau lebih pernyataan tunggal melalui tanda hubung “atau”. Secara matematis, disjungsi dinyatakan sebagai (p v q). Perhatikan contoh disjungsi berikut.

• p = Julia bekerja di Pasar Baru.
• q = Julia hobi bermain basket.
• p vq = Julia bekerja di Pasar Baru atau hobi bermain basket. 🡪 contoh kalimat disjungsi

Disjungsi akan bernilai benar jika salah satu atau kedua pernyataan benar. Adapun tabel kebenaran disjungsi adalah sebagai berikut.

Lalu, bagaimana bentuk ingkaran disjungsi?

Dengan demikian, ingkaran disjungsi “Julia bekerja di Pasar Baru atau hobi bermain basket” adalah sebagai berikut.

• p vq = Julia bekerja di Pasar Baru atau hobi bermain basket. (disjungsi)
• ~(p v q) ≡ ~p ∧ ~q = Julia tidak bekerja di pasar dan tidak hobi bermain basket. (ingkaran disjungsi)

Implikasi

Implikasi adalah gabungan dari dua pernyataan sebagai hubungan sebab akibat. Implikasi ditandai dengan “jika …, maka …” dan biasa dinyatakan sebagai p =>q. Perhatikan contoh implikasi berikut.

• p = Ani makan bakso.
• q = Jeni akan datang ke rumah.
• p => q = Jika Ani makan bakso, maka Jeni akan datang ke rumah. 🡪 contoh kalimat implikasi

Adapun ingkaran dari implikasi adalah sebagai berikut.

Dengan demikian, ingkaran dari hasil implikasi “Jika Ani makan bakso, maka Ani tidak makan di rumah” adalah sebagai berikut.

• p => q = Jika Ani makan bakso, maka Jeni akan datang ke rumah. (implikasi)
• ~(p => q) ≡ p ∧ ~q = Ani makan bakso dan Jeni tidak datang ke rumah. (ingkaran implikasi)

Biimplikasi

Biimplikasi adalah gabungan antara dua pernyataan yang dihubungkan dengan “… jika dan hanya jika …”. Biimplikasi biasa dinyatakan sebagai (p ⬄ q). Untuk lebih jelasnya, simak contoh biimplikasi berikut.

• p = Gilang akan mendapatkan hadiah.
• q = Gilang menjadi juara kelas
• p ⬄ q = Gilang akan mendapatkan hadiah jika dan hanya jika menjadi juara kelas. 🡪 contoh kalimat biimplikasi

Biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan sama-sama benar atau sama-sama salah. Perhatikan tabel kebenaran berikut.

Adapun bentuk ingkaran dari biimplikasi adalah sebagai berikut.

Dengan demikian, ingkaran dari biimplikasi “Gilang akan mendapatkan hadiah jika dan hanya jika menjadi juara kelas” adalah sebagai berikut.

• p ⬄ q = Gilang akan mendapatkan hadiah jika dan hanya jika menjadi juara kelas.
• ~(p <=> q) ≡ (p ∧ ~q) v (q ∧ ~p) = Gilang akan mendapatkan hadiah dan tidak menjadi juara kelas atau Gilang menjadi juara kelas dan tidak akan mendapatkan hadiah.

Pernyataan Berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang memuat kuantitas suatu objek, misalnya semua, setiap, sebagian, dan sebagainya. Contoh pernyataan berkuantor adalah “semua sapi makan rumput”, “semua anggota bilangan asli termasuk himpunan bilangan real”, “sebagian semut berwarna merah”, dan seterusnya. Pernyataan berkuantor dibagi menjadi dua, yaitu sebagai berikut.

Kuantor universal

Kuantor universal adalah pernyataan yang memuat kuantitas secara menyeluruh dan ditandai dengan kata “semua atau setiap”. Kuantor universal biasa dilambangkan sebagai ∀x, px, misalnya “semua kerbau berwarna abu-abu”. Lantas, bagaimana bentuk ingkarannya? Perhatikan rumus berikut.

Di mana, tanda ∃ menunjukkan kuantor eksistensial.

Dengan demikian, bentuk ingkaran dari “semua kerbau berwarna abu-abu” adalah sebagai berikut.

• (∀x, px): Semua kerbau berwarna abu-abu
• ~(∀x,p(x)) ≡ ∃x,~p(x): Sebagian kerbau tidak berwarna abu-abu.

Ingat, jika pernyataan kuantornya diawali kata “semua”, maka ingkarannya diawali kata “ada, sebagian, atau beberapa”.

Kuantor eksistensial

Kuantor eksistensial adalah pernyataan yang memuat kuantitas sebagian, sehingga biasa ditandai dengan kata “ada, sebagian, atau beberapa”. Kuantor eksistensial biasa dilambangkan dengan ∃x, px, misalnya “sebagian ikan memiliki gigi tajam”. Bentuk ingkarannya adalah berupa kuantor universal dan ditandai dengan kata “semua atau setiap”. Perhatikan rumus berikut.

Dengan demikian, bentuk ingkaran dari “sebagian ikan memiliki gigi tajam”. adalah sebagai berikut.

• (∃x, px): Sebagian ikan memiliki gigi tajam
• ~(∃x,p(x)) ≡ ∀x,~p(x): Semua ikan tidak memiliki gigi tajam.

Ingat, jika pernyataan kuantornya diawali kata “sebagian, ada, atau beberapa”, maka ingkarannya diawali kata “semua atau setiap”.

Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan logika matematika dilakukan secara deduktif atau di awal dan melibatkan beberapa premis. Secara umum, penarikan kesimpulan dibagi menjadi tiga, yaitu silogisme, modus Ponens, dan modus Tolens. Apa perbedaan ketiga penarikan kesimpulan tersebut?

Silogisme

Silogisme merupakan penarikan kesimpulan dari dua bentuk implikasi. Bentuk umum silogisme adalah sebagai berikut.

Contoh:

Premis 1: Jika 2x + 1 = 3, maka x = 1. (p => q)

Premis 2: Jika x = 1, maka x termasuk bilangan asli. (q => r)

Kesimpulan: Jika 2x + 1 = 3, maka x termasuk bilangan asli. (p => r)

Modus Ponens

Bentuk umum modus Ponens adalah sebagai berikut.

Contoh:

Premis 1: Jika hari ini mendung, aku akan membawa payung. (p => q)

Premis 2: Hari ini mendung. (p)

Kesimpulan: Aku membawa payung. (q)

Modus Tollens

Bentuk umum modus Tollens adalah sebagai berikut.

Contoh:

Premis 1: Jika gelaran KTT G20 usai, presiden akan melakukan evaluasi. (p => q)

Premis 2: Presiden tidak melakukan evaluasi. (~q)

Kesimpulan: Gelaran KTT G20 belum usai. (~p)

Contoh Soal Logika Matematika

Untuk mengasah kemampuanmu, yuk simak contoh soal berikut.

Contoh soal 1

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut.

Jika sinx = 0,5, maka x = 30^o

Pembahasan:

Pernyataan pada soal termasuk implikasi. Adapun bentuk ingkaran implikasi adalah sebagai berikut.

~(p => q) ≡ p ∧ ~q

Dengan demikian:

• p => q = Jika sinx = 0,5, maka x = 30^o
• ~(p => q) ≡ p ∧ ~q = sinx = 0,5 dan x ≠ 30^o.

Jadi, ingkarannya adalah “sinx = 0,5 dan x ≠ 30^o”.

Contoh soal 2

Perhatikan premis-premis berikut.

Premis 1: Jika Fera tidur siang, maka ia akan ke lembaga bimbel lebih awal.

Premis 2: Jika Fera ke lembaga bimbel lebih awal, maka ia mendapatkan barisan duduk terdepan.

Tentukan ingkaran dari kesimpulan kedua premis!

Pembahasan:

Berdasarkan premis yang ada di soal, penarikan kesimpulannya bisa menggunakan silogisme.

• Premis 1: p => q
• Premis 2: q => r
• Kesimpulan: p => r

Dari soal diperoleh:

Premis 1: Jika Fera tidur siang, maka ia akan ke lembaga bimbel lebih awal. (p => q)

Premis 2: Jika Fera ke lembaga bimbel lebih awal, maka ia akan mendapatkan barisan duduk terdepan. (q => r)

Kesimpulan: Jika Fera tidur siang, maka ia akan mendapatkan barisan duduk terdepan. (p => r)

Setelah diperoleh kesimpulan, carilah ingkarannya melalui rumus ingkaran implikasi seperti berikut.

• (p => r) = Jika Fera tidur siang, maka ia akan mendapatkan barisan duduk terdepan.
• ~(p => r) ≡ p ∧ ~r = Fera tidur siang dan tidak akan mendapatkan barisan duduk terdepan.

Jadi, ingkaran dari kesimpulan tersebut adalah Fera tidur siang dan tidak akan mendapatkan barisan duduk terdepan.

Contoh soal 3

Perhatikan pernyataan berikut.

Semua anggota bilangan asli merupakan anggota bilangan cacah.

Bagaimana kalimat ingkaran dari pernyataan tersebut?

Pembahasan:

Pernyataan pada soal termasuk pernyataan berkuantor universal. Dengan demikian, ingkarannya harus berupa kuantor eksistensial seperti berikut.

• (∀x, px): Semua anggota bilangan asli merupakan anggota bilangan cacah.
• ~(∀x,p(x)) ≡ ∃x,~p(x): Ada anggota bilangan asli yang bukan anggota bilangan cacah.

Jadi, bentuk ingkaran yang sesuai adalah ada anggota bilangan asli yang bukan anggota bilangan cacah.Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Jangan lupa untuk tetap update artikel terbaru Quipper Blog, ya. Salam semangat!