Logika Matematika: Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi — Mathcyber1997 (2024)

Sebelumnya, kita sudah mempelajari mengenai kalimat terbuka dan kalimat tertutup (proposisi), serta nilai kebenaran. Dalam logika matematika, ada notasi yang dipakai untuk menegasikan kebenaran suatu proposisi. Ketika proposisi tunggal dihubungkan dengan proposisi tunggal lainnya dengan menggunakan kata hubung tertentu, maka akan terbentuk proposisi majemuk. Proposisi majemuk tersebut memiliki nilai kebenaran yang bergantung pada proposisi tunggal pembentuknya. Berikut akan dibahas secara lebih rinci tentang istilah-istilah dalam logika matematika tersebut.

Today Quote

Teruslah melangkah di jalan yang benar, meskipun terkadang kebaikan tidak selalu dihargai. Ini karena setiap orang membacamu dengan pemahaman dan pengalaman yang berbeda-beda.

Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran (truth table) adalah tabel yang digunakan untuk menunjukkan nilai kebenaran dari suatu proposisi tunggal maupun majemuk. Baris pertama (paling atas) pada tabel berisi nama/simbol proposisi, kemudian baris di bawahnya menunjukkan nilai kebenaran. Nilai kebenaran ada dua, yaitu B (Benar) atau S (Salah), sedangkan dalam bahasa Inggris (internasional), ditulis T (True) atau F (False). Lain halnya dengan logika komputer yang menyatakannya dalam bilangan biner, yaitu 1 (Benar) atau 0 (Salah). Di sini, kita akan menggunakan notasi B dan S.

Pada tabel kebenaran, disepakati bahwa penulisan nilai kebenaran mengutamakan BENAR pada proposisi pertama terlebih dahulu, kemudian baru diikuti proposisi berikutnya. Setelah itu, barulah proposisi pertama dianggap SALAH. Sebagai contoh, disajikan tabel kebenaran dengan proposisi $p$ dan $q$ berikut.
Untuk tabel kebenaran yang melibatkan tiga proposisi, misalnya $p$, $q$, dan $r$ dapat dilihat di bawah.

Urutan penulisannya selalu seperti itu dan tidak boleh tertukar.

Apabila kita mencari nilai kebenaran dari proposisi majemuk, maka dalam tabel kebenaran harus disajikan nilai kebenaran dari proposisi tunggal pembentuknya terlebih dahulu. Kolom terakhir (paling kanan) pada tabel kebenaran adalah nilai kebenaran dari proposisi majemuk yang dicari.

Ingkaran (Negasi)

Definisi: Ingkaran (Negasi)

Ingkaran (negasi) dari $p$ adalah proposisi yang diambil dari $p$ dengan nilai kebenarannya berbanding terbalik.

Ingkaran atau negasi digunakan untuk menyangkal suatu proposisi. Ingkaran atau negasi $p$ dinyatakan oleh $\neg p$ atau beberapa literatur menuliskan $\sim \! p$. Agar konsisten, di sini akan dipakai notasi $\neg p$. Jika $p$ adalah proposisi yang bernilai benar, maka $\neg p$ adalah proposisi yang bernilai salah, begitu juga sebaliknya. Cara sederhana yang bisa dilakukan untuk mendapatkan ingkaran dari suatu proposisi adalah dengan menyisipkan kata “bukan”, “tidak”, atau “tidak benar” pada proposisi tersebut, seperti yang tampak pada contoh-contoh berikut.
$$\begin{aligned} p : &~\text{Canberra adalah ibu kota Australia (B)} \\ \neg p : &~\text{Canberra bukan ibu kota Australia (S)} \\ \\ q : &~\text{Kita ada kegiatan pada hari Senin} \\ \neg q : &~\text{Kita tidak ada kegiatan pada hari Senin} \\ \\ r : &~\text{Andi bukan seorang pengacara} \\ \neg r : &~\text{Andi adalah seorang pengacara} \\ \\ s : &~10-3 < 5~(\text{S}) \\ \neg s : &~\text{Tidak benar bahwa}~10-3 < 5~(\text{B}) \\ \neg s : &~10-3 \ge 5~(\text{B}) \end{aligned}$$Tabel kebenaran untuk ingkaran (negasi) adalah sebagai berikut.
Tabel berikut menunjukkan bentuk proposisi beserta negasi/ingkaran yang sesuai dengannya.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Proposisi} & \text{Negasi/Ingkaran} \\ \hline \text{Semua}~\cdots \cdot & \text{Ada/beberapa}~\cdots~\text{tidak}~\cdots \cdot \\ \text{Sama dengan}~(=)& \text{Tidak sama dengan}~(\neq) \\ \text{Lebih dari}~(>) & \text{Kurang dari atau sama dengan}~(\leq) \\ \text{Lebih dari atau sama dengan}~(\geq) & \text{Kurang dari}~(<) \\ \hline \end{array}$$

Konjungsi

Definisi: Konjungsi

Konjungsi dari dua proposisi $p$ dan $q$ adalah proposisi majemuk yang merupakan gabungan dari dua proposisi tersebut dengan penghubung kata “dan”.

Ketika konjungsi digunakan, maka dua proposisi akan menjadi satu proposisi, disebut sebagai proposisi majemuk. Kata “dan” dalam matematika selanjutnya disimbolkan dengan notasi $\land.$ Berikut ini beberapa contoh proposisi majemuk yang memuat konjungsi.
$$\begin{aligned} p : &~\text{Andi adalah anak yang rajin} \\ q : &~\text{Andi adalah anak yang pandai} \\ p~\land q :&~\text{Andi adalah anak yang rajin dan pandai} \\ \\p : &~\text{16 adalah bilangan kuadrat (B)} \\ q : &~\text{16 adalah bilangan ganjil (S)} \\ p \, \land q :&~\text{16 adalah bilangan kuadrat dan bilangan ganjil (S)} \\ \end{aligned}$$Kata hubung “dan” dalam konjungsi dapat diganti dengan kata tetapi, sehingga, walaupun, meskipun, maupun, dan kemudian selama artinya tetap sama.

Nilai kebenaran proposisi majemuk yang dihubungkan oleh konjungsi bergantung pada nilai kebenaran masing-masing proposisi tunggal pembentuknya, yaitu mengikuti ketentuan: $\color{blue}{p \, \land q}$ akan bernilai benar jika kedua proposisi $\color{blue}{p}$ dan $\color{blue}{q}$ bernilai benar. Tabel kebenaran untuk konjungsi adalah sebagai berikut.

Negasi dari Proposisi Konjungsi

Negasi dari proposisi konjungsi $p \, \land q$, ditulis $\neg(p \, \land q)$, ekuivalen dengan $\neg p \lor \neg q.$ Ekuivalensi ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut.

Perhatikan bahwa kolom yang diraster kuning memiliki urutan nilai kebenaran yang sama. Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\neg(p \, \land q) \equiv \neg p \lor \neg q}$

Disjungsi

Definisi: Disjungsi

Disjungsi dari dua proposisi $p$ dan $q$ adalah proposisi majemuk yang merupakan gabungan dari dua proposisi tersebut dengan penghubung kata “atau”.

Ketika disjungsi digunakan, maka dua proposisi akan menjadi satu proposisi, disebut sebagai proposisi majemuk. Kata “atau” dalam matematika selanjutnya disimbolkan dengan notasi $\lor.$

Disjungsi dalam keseharian memiliki arti ganda, yaitu disjungsi eksklusif dan inklusif. Misalkan ada kalimat “Setelah lulus SMP, Toni akan melanjutkan pendidikannya ke SMA atau SMK.” Kalimat ini ditafsirkan bahwa Toni akan melanjutkan ke salah satu dari dua pilihan sekolah yang diberikan, tidak mungkin keduanya sekaligus. Kata penghubung “atau” di sini disebut sebagai disjungsi eksklusif. Beda halnya dengan disjungsi inklusif, yang kata “atau”-nya memperbolehkan kita untuk memilih dua-duanya sekaligus, seperti pada kalimat “Dua bilangan yang habis dibagi 2 atau habis dibagi 5.” Ketika muncul istilah “disjungsi”, telah disepakati bahwa yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.
Perhatikan contoh-contoh proposisi majemuk yang dihubungkan menggunakan disjungsi berikut.
$$\begin{aligned} p : &~\text{Kucing adalah hewan karnivora (B)} \\ q : &~\text{Kucing adalah hewan berdarah panas (B)} \\ p \lor q : &~\text{Kucing adalah hewan karnivora atau hewan berdarah panas (B)} \\ \\ r : &~\text{Step gemar makan sayur} \\ s : &~\text{Suli tidak gemar makan daging} \\ r \lor s :&~\text{Step gemar makan sayur atau Suli tidak gemar makan daging} \end{aligned}$$ Nilai kebenaran proposisi majemuk yang dihubungkan oleh disjungsi bergantung pada nilai kebenaran masing-masing proposisi tunggal pembentuknya, yaitu mengikuti ketentuan: “$p~\lor q$ akan bernilai benar jika setidaknya salah satu proposisi bernilai benar”. Tabel kebenaran untuk disjungsi adalah sebagai berikut.

Negasi dari Proposisi Disjungsi

Negasi dari proposisi disjungsi $p \lor q$, ditulis $\neg(p \lor q)$, ekuivalen dengan $\neg p \, \land \neg q.$ Ekuivalensi ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut.

Perhatikan bahwa kolom yang diraster kuning memiliki urutan nilai kebenaran yang sama. Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\neg(p~\lor q) \equiv \neg p \, \land \neg q}$

Implikasi

Definisi: Implikasi

Implikasi dari dua proposisi $p$ dan $q$ adalah hubungan dua proposisi yang disusun dalam bentuk “jika $p$, maka $q$”.

Banyak proposisi dalam komunikasi sehari-hari, tak terkecuali dalam matematika, yang merupakan proposisi bersyarat (conditional statement). Ciri utamanya adalah berbentuk “Jika …, maka …”. Sebagai contoh,
$$\begin{aligned} p : &~\text{Jika kamu belajar dengan giat, maka kamu akan lulus} \\ q : &~\text{Jika}~x~\text{bilangan kelipatan 4, maka}~x~\text{adalah bilangan genap} \end{aligned}$$Proposisi majemuk “Jika $p$, maka $q$” yang dihubungkan oleh implikasi dinotasikan dengan tanda panah dengan arah ke kanan, yaitu $p \Rightarrow q.$

Proposisi $p \Rightarrow q$ dapat dibaca:

1. Jika $p$, maka $q$.
2. $p$ mengimplikasikan $q$.
3. $q$ hanya jika $p$.
4. $q$ jika $p$.
5. $q$ asal saja $p$.

Pada bentuk $p \Rightarrow q$, $p$ disebut anteseden (hipotesis) atau syarat cukup bagi $q$, sedangkan $q$ disebut konsekuen (kesimpulan/konklusi) atau syarat perlu bagi $p$. Seperti halnya konjungsi dan disjungsi, implikasi juga tidak mengharuskan kedua proposisi memiliki hubungan tertentu. Perhatikan contoh berikut untuk lebih jelasnya.
$$\begin{aligned} p : &~2^4 = 16~~(\text{B}) \\ q : &~\text{11 adalah bilangan prima}~~(\text{B}) \\ p \Rightarrow q : &~\text{Jika}~2^4=16,~\text{maka 11 adalah bilangan prima} \\ \\ r : &~\text{Sukardi menjalankan sidang skripsi} \\ s : &~\text{Sukardi memiliki IPK > 3} \\ r \Rightarrow s : &~\text{Jika Sukardi menjalankan sidang skripsi, maka ia memiliki IPK > 3} \end{aligned}$$ Proposisi majemuk yang dihubungkan oleh implikasi dapat bernilai benar dan salah. Nilai kebenaran $p \Rightarrow q$ akan salah hanya saat $p$ benar dan $q$ salah, seperti yang dinyatakan dalam tabel kebenaran implikasi di bawah ini.

Konvers, Invers, dan Kontrapositif

Dari suatu implikasi, misalnya $p \Rightarrow q$, dapat diperoleh implikasi lain sebagai berikut.

1. Menukar anteseden dengan konsekuen, atau sebaliknya sehingga diperoleh proposisi baru yang disebut konvers dari implikasi itu.
   $$\boxed{\text{Konvers dari}~p \Rightarrow q~\text{adalah}~q \Rightarrow p}$$
2. Menegasikan anteseden dan konsekuen sehingga diperoleh proposisi baru yang disebut invers dari implikasi itu.
   $$\boxed{\text{Invers dari}~p \Rightarrow q~\text{adalah}~\neg p \Rightarrow \neg q}$$
3. Menegasikan anteseden dan konsekuen, kemudian menukar letaknya sehingga diperoleh proposisi baru yang disebut kontrapositifdari implikasi itu.
   $$\boxed{\text{Kontrapositif dari}~p \Rightarrow q~\text{adalah}~\neg q \Rightarrow \neg p}$$

Kebenaran hubungan antara proposisi implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dari bentuk $p \Rightarrow q$ dinyatakan dalam tabel berikut.

Baca Juga:Materi, Soal, dan Pembahasan – Gerbang Logika

Biimplikasi

Definisi: Biimplikasi

Biimplikasi dari dua proposisi $p$ dan $q$ adalah hubungan dua proposisi yang disusun dalam bentuk “$p$ jika dan hanya jika $q$”.

Selain proposisi kondisional (implikasi), ada juga proposisi majemuk yang menunjukkan dua peristiwa/kondisi yang terjadi secara serentak. Ciri utamanya adalahberbentuk memuat frasa jika dan hanya jika. Proposisi seperti itu disebut sebagai biimplikasi (atau implikasi dua arah). Biimplikasi yang dibentuk dari proposisi $p$ dan $q$ ditulis $p \Leftrightarrow q$.Proposisi $p \Leftrightarrow q$ dapat dibaca:

1. $p$ jika dan hanya jika $q.$
2. Jika $p$, maka $q$ dan jika $q$, maka $p.$

Pada bentuk $p \Leftrightarrow q$, $p$ disebut syarat cukup dan perlu bagi $q$, begitu juga sebaliknya, $q$ disebut syarat cukup dan perlu bagi $p$. Proposisi majemuk biimplikasi bernilai benar ketika dua proposisi tunggal pembentuknya memiliki nilai kebenaran yang sama, artinya sama-sama benar atau sama-sama salah, seperti yang ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut.
Proposisi $p \Leftrightarrow q$ secara logika ekuivalen dengan $(p \Rightarrow q) \, \land (q \Rightarrow p)$ dengan nilai kebenaran BSSB. Ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran di bawah.